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第一部分：何為數(shù)字推理

    數(shù)字推理不是廣東的特色考點，但廣東的數(shù)字推理是比較有“特色”的，他的特色就是簡單，特別是2019年的數(shù)字推理。但我們不能因為某一兩年考得簡單而簡單地學(xué)，為了讓大家更加系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)字推理，今天兼得先生為大家全面梳理了數(shù)字推理的幾大題型以及解題方法，相信我，把這幾個類型的數(shù)字推理學(xué)透，廣東省考的數(shù)字推理你會拿滿分的，好了，直接上干貨吧，我不擅長往文章里兌水，當(dāng)然，也不會這樣做。

    廣東解題方法以及?？碱}型都比較固定。做這類目最重要是要關(guān)注題目的“信號”。當(dāng)出現(xiàn)這類“信號”時，需要馬上對號入座，選擇對應(yīng)的方法。廣東考的數(shù)列每年題量基本固定在5題。而知識點也是在5個左右，你們這節(jié)課要仔細記錄我說的東西，特別是我提醒你的，一定要記住。

基本題型

1.基礎(chǔ)數(shù)列：

1 ，3 ，5 ，7 ，9，（ ）

2 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13 ，（ ）

2.多級數(shù)列：

5 ，13 ，25 ，41 ，（ ）

3.遞推數(shù)列：

1 ，2 ，5，11 ，26 ，（ ）

4.多重（分組）數(shù)列：

（1）奇偶分組：

1，4，4，6，9，8，16，（ ）

（2）數(shù)字內(nèi)部分組：

1.1 ，2.3 ，4.5 ，9.7 ，（）

5.冪次方數(shù)列：

1 ，4 ，9 ，25 ，36 ，（ ）

6.分數(shù)數(shù)列：（ ）

7.機械拆分數(shù)列：

325 ，118 ，721 ，604 ，（ ）

8.圖形題：

第二部分：解題思維

一、普通多級數(shù)列

    作差（作和）型是普通多級數(shù)列的典型代表，這里以作差型數(shù)列為例，作差，顧名思義，是指后項減去前項（或前減去后項）得出一個有規(guī)律的數(shù)列。一般考試最多就是考到二級、三級作差。

    例1：5 ，13 ，25 ，41 ，（ ）

    我把剛才那個作差的數(shù)列用圖表的形式來展現(xiàn)給大家，大家有沒有發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，沒錯，那就是他的遞增不明顯。

劃重點：作差型的數(shù)列有個明顯的特征，那就是整個數(shù)列的遞增不明顯：

     如果單調(diào)陡增很明顯的話，就是考另外兩個考點，一是遞推數(shù)列（多與前后倍數(shù)有關(guān)系），二是冪次方類（如平方，三次方，四次方等），這類型接下來會詳細講解。

    這類簡單的多級數(shù)列，一般是采用作差法來解題。作差法分為一級作差和多級作差，一級作差就是作差一次就可以看到明顯規(guī)律，多級作差就是需要作差兩次或兩次以上才有明顯的規(guī)律。

緊記！用作差法的題目，數(shù)字之間遞增或遞減的速度是比較慢的。

    （一）一級作差

    1 ，3 ，5 ，7 ，（ ）

    注意：作差出來的數(shù)字都是有規(guī)律的數(shù)列，

    如1,2,3,4或2,4,6,8

    大家按這個方法來做一下這兩道題：

    例 2 ：0 ，1 ，6 ，15 ，28 ，（ ）

    例 3 ：1 ，2 ，6 ，15 ，31 ，（ ）

（二）多級作差

    俗話說，這個世界上沒有一頓宵夜解決不了的事，如果有，那就兩頓。作差數(shù)列也是同樣的道理，你作差一次找不到規(guī)律，那你就再作差一次，看能否得到明顯的規(guī)律。多級作差就是指需要作差兩次或兩次以上才有明顯規(guī)律的數(shù)列。

    例：1 ，2 ，5 ，12 ，25 ，（ ）

解：

二、多重（分組）數(shù)列

    分組型的數(shù)列比較明顯，那就是這個題干一般都有8個或8個以上的數(shù)，又或者有明顯小數(shù)點的，你看到這樣的題，要立刻想到分組，先分組再找規(guī)律。分組通常有幾個類型，分別是奇偶數(shù)位分組、數(shù)字內(nèi)部分組或數(shù)字合并分組等。

1.奇偶數(shù)位分組： 

1，4，4，6，9，8，16，（ ）

分成兩組：

（1）奇數(shù)位組：1、4、9、16

（2）偶數(shù)位組：4、6、8、10

2.數(shù)字內(nèi)部分組：

1.1 ，2.3 ，4.5 ，9.7 ，（ ）

分成兩組：

（1）整數(shù)組：1、2、4、9

（2）小數(shù)點組：1、3、5、7

3.數(shù)字合并分組：

5、11、12、10、13、15、19、（ ）

[5+11] ，[12+10]，[13+15]，[19+？]

    16   ，    22   ，      28  ，    34

4.前后對應(yīng)分組：

1、3、2、5、10、13、12、（ ？）

[1+ ？] ，[3+12]，[2+13]，[5+10]

拿最后一個例題來分析，通過分組我們可以發(fā)現(xiàn)，前后項相加都是等于15，因此？處應(yīng)該填“14”，但是你一定要知道，前后項分組有時對應(yīng)結(jié)果是常數(shù)，有時對應(yīng)是遞增或遞減數(shù)列。

備注：

1.其實前后對應(yīng)分組只是數(shù)字合并分組的一個細分，為了讓大伙更好地理解，我就把他單獨拿出來講解；

 2.數(shù)字合并分組只是為了方便大家理解而取的名字，這個類型的數(shù)列會有幾種變形，但是萬變不離其宗，大家要學(xué)會應(yīng)變。

現(xiàn)在大家用剛才教的方法做如下幾道題：

例4 （2014 廣東）

8、3、17、5、24、9、26、18、30、（ ）

例5 （2017 吉林）

ln 4 - ln 3，ln 8 - ln 8，ln 16 - ln 15，ln 32 - ln 24，（  ），ln 128 - ln 48

A.ln 64 - ln 35         B. ln 32 - ln 28

C. ln 64 - ln 36        D. ln 32 - ln 35 

三、遞推數(shù)列（前后關(guān)系型）

 剛才已經(jīng)說過，如果單調(diào)陡增很明顯的話，就是考另外兩個考點，一是前后倍數(shù)關(guān)系，二是冪次方類。其中前后倍數(shù)關(guān)系類的數(shù)列，是遞推數(shù)列中比較常考的一類。

所謂遞推，是指前后項存在著一定的關(guān)系，然后按這個關(guān)系遞推出結(jié)果，也就是后面的數(shù)是根據(jù)前面的數(shù)按照一定的關(guān)系得來的，最基本的遞推關(guān)系就是和、差、積、商。

（一）先拿幾個例子和大家簡單介紹一下，什么是遞推數(shù)列：

1.和，如：

1、2、3、5、8、13、（21）

1+2=3，2+3=5，3+5=8，

第一項+第二項=第三項

2.差，如：

21、13、8、5、3、2、（1），

21-13=8，13-8=5，（  ）=3-2=1；

3.積，如：

1、2、2、4、8、（32）

1x2=2，2x2=4，（  ）=4x8=32；

4.商，如：

32、8、4、2、2、（1）

32÷8=4，8÷4=2，（  ）=2÷2=1。

  （二）遞推數(shù)列解題思維

    遞推數(shù)列，關(guān)鍵是找關(guān)系，前后項可以通過什么相互關(guān)系得來呢？這類題目一般是從第二項或者第三個項開始找關(guān)系的：

例6：1 ，2 ，3，10 ，39 ，（ ）

也就是：3是怎么來的、他和前面兩項可以通過什么關(guān)系轉(zhuǎn)化而來；10是怎么來的、39是怎么來的。當(dāng)然，這道題有幾種解法。

四、冪次方數(shù)列

包括（平方數(shù)、立方數(shù)、4 次方）。這類題本身是冪次數(shù)，廣東經(jīng)常考這么簡單的，最多就是在冪次數(shù)的基礎(chǔ)上加減一個數(shù)，這就演變成修正冪次數(shù)列。這類型的題目其實很簡單，但是平時要多練習(xí)，培養(yǎng)自己對數(shù)字的“敏銳”性。

首先，你要謹記三個法則：

 （一）一個數(shù)是可以有多種不同次冪的

    一個數(shù)是可以有多種不同次冪的，要靈活變通，做題時最好從只有一個次冪的數(shù)下手，再倒推其他的。

（二）看到一個數(shù)，要知道這個數(shù)是可以通過哪個冪次方的數(shù)修正而來的，也就是說：你看到66，你要想到可以這樣得來：

思維一定要靈活應(yīng)變。

練習(xí)一下,你們告訴我這幾個數(shù)可以怎么變來的：

例7 ：3 ，6 ，10 ，20 ，29 ，30

其他幾個數(shù)大家用這個方法寫出來。

（三）負冪次方變換

一般出現(xiàn)在有幾個數(shù)字，突然冒出一個分數(shù)，這時需要考慮負冪次方變換。

解：這道題都是數(shù)字，但是最后突然冒出一個分數(shù)，我們可以從這個分數(shù)開始下手，用負冪次方的方

這時我們需要繼續(xù)分析，這幾個數(shù)變化形式最少的就是“9”，“9”可以變成“”；“5”可以變成“”，這時把數(shù)列重新列一下：

 這時規(guī)律是不是有點明顯了，底數(shù)是“1、3、5、1、9”是不是類似于經(jīng)典的“1、3、5、7、9”數(shù)列呢，所以我們可以把這個數(shù)列化成：

底數(shù)和指數(shù)分別成規(guī)律。

備注：一般變形都是從變化形式最少的數(shù)下手，千萬不要從變化形式多的下手，如“1”，他有無數(shù)種變化方式，因為任何數(shù)的0次方都是1，當(dāng)然0的0次方除外，沒有意義。

其次，你需要多加練習(xí)：

例7 （2017 上海）1 ，32 ，81 ，64 ，25 ，（ ）

A.12      B.10        C.8          D.6 

五、分數(shù)數(shù)列

分數(shù)數(shù)列考察的方向也有幾個，分別是“化同”、“分子分母分開找規(guī)律”“反約分”、“前后關(guān)系”等，下面我們逐一講解：

1.“化同”，也就把整個數(shù)列的分子或者分母化成同一個數(shù)，然后找規(guī)律。方法觀察數(shù)列，能否把分母或者分子通分化為一致，能一致就進行分母或分子同分，然后觀察規(guī)律。

現(xiàn)在你們用這個方法來做一下這題：

 2.“反約分”，這類題目首先要觀察分數(shù)的趨勢，看是否遞增。

    （1）遞增：先分開看（分子分母是否單獨成規(guī)律），再一起看（分子、分母一起觀察，相互之間是否有規(guī)律）。

    （2）不遞增，即上下起伏：我們就要把數(shù)列變成遞增的，這時約分、反約分兩種方法結(jié)合使用。

    反正以上兩種方法我總結(jié)為，可以把分母通分成一樣的最好，不能的話就把就需要我們“造”一個數(shù)列出來，一般是分母和分子分別弄成一個明顯關(guān)系的數(shù)列。

    解：這題一看上去是不是有點亂，但是我們按方法來，可以變成同分母嗎，明顯不能，那只能想辦法把分子或分母變成有規(guī)律的數(shù)列。

我們發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列中：

因此先從分母下手：3、2、7、11、9

                  可變?yōu)椋?、4、7、11、18

分子也順勢變成：1、2、3、5、8

   整個數(shù)列就變成：

    這里強調(diào)一點：2變成4，這個4不是亂變的，是要在一定區(qū)間范圍內(nèi)的，一般是前后項之間的，這里就是3和7之間。

3.“前后關(guān)系”，顧名思義，這類數(shù)列前后項之間是有一定的關(guān)系的，一般是乘或者除，作差作和之類的比較少。

    解：我們仔細觀察這個數(shù)列，發(fā)現(xiàn)他的規(guī)律有點意思，前一項的分子分母相乘（2x5）等于下一項的分母（10）；前一項的分母分子相減（5-2）等于下一項的分子（3）

六、機械拆分數(shù)列

    這類型的題目，如果你是按照之前的思路是無法算出來的，廣東很喜歡考這些題目的。這些題目有個特征，就是數(shù)與數(shù)之間毫無特征，有時突然增大或突然增小，或者都是很大的數(shù)。反正就是正常邏輯解釋不了的。這時就只有運用數(shù)字內(nèi)部規(guī)律來找了。

    字內(nèi)部規(guī)律一般是內(nèi)部相加減或相乘之類的，行內(nèi)一般叫機械拆分，反正哪個容易理解你選哪個。

     例13 ：325 ，118 ，721 ，604

    解：這是廣東的一道原題，我們來看看怎么做。從325到118再到721，忽然增大忽然減小，用多級數(shù)列或者遞推數(shù)列之類的解法來做，想到下一年省考開始，你還是解不出的，這類型的題目要把數(shù)字按照個位十位百位單獨分開來看，然后再內(nèi)部相加減或相乘之類的來找規(guī)律。

（1）325=3+2+5=10；

（2）118=1+1+8=10；

（3）721=7+2+1=10；

（4）604=6+0+4=10.

    這時我們就非常清晰了，各個數(shù)位之和等于一個常數(shù)。但我們要注意，有時各個數(shù)位相加減得到的結(jié)果有可能是普通的等差數(shù)列，也有可能是一個質(zhì)數(shù)數(shù)列，反正就是相加減后得出一個有規(guī)律的數(shù)列。

    現(xiàn)在大伙用這個方法來做一下這兩道題：

    例14 ：3721、6636、339、5525

    例15 ：102、113、106、801、（ ）

七、圖形數(shù)列

    圖形題表現(xiàn)形式也有幾類，如“九宮格”“四宮圓”等，一般解法都是相鄰數(shù)之間找關(guān)系，不外乎加減乘除，或者平方之類的。做這些題首要的是找到對應(yīng)“？”所在位置的關(guān)系。如例16中的7、2是通過什么關(guān)系得來的？

   例16

    解：“？”對應(yīng)的位置分別是A圖中的7和B圖中的2，我們現(xiàn)在來想，7、2是通過什么關(guān)系得來的，剛才說了，一般解法都是相鄰數(shù)之間找關(guān)系，不外乎加減乘除，或者平方之類的。所以我們得留意“7”周圍幾個數(shù)之間有什么相互關(guān)系。

（1）找倍數(shù)關(guān)系：15÷5=3；

（2）找平方關(guān)系：這道題沒有；

（3）找加減關(guān)系：15-5=10；10-7=3

    這時我們發(fā)現(xiàn)：15÷5=3，10-7也是等于3，是不是找到一點所謂的關(guān)系了。接著我們拿B項來驗證一下：24÷4=6,8-2=6，驗證通過，因此“？”對應(yīng)的數(shù)是4（32÷8=4,8-4=4）.

    用剛才的方法來做一下這道題，提示一下，這道題和平方有關(guān)系。

    最后，我們已經(jīng)系統(tǒng)把數(shù)字推理的幾大題型學(xué)完，現(xiàn)在我們用近兩年來廣東的數(shù)字推理真題來驗證一下，你能否全對。想學(xué)習(xí)更多干貨，請加兼得先生微信：87228835.

第三部分

真題演練

1.（廣東 2019）

120，60，20，5，（  ）

A.1    

B.2    

C.3    

D.4

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A

2.（廣東 2019）

2，9，11，20，31，（  ）

A.39    

B.43    

C.47    

D.51

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D

 3.（廣東 2019）

24，32，41，51，62，（  ）

A.72    

B.74    

C.76    

D.78

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B

4.（廣東 2019）

1，1，2，6，24，（  ）

A.86    

B.112    

C.120    

D.144

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C

A 

06

6.（廣東 2018）

31，29，28，26，25，23，（，）

A.22    

B.24

C.35    

D.38

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A

7.（廣東 2018）

3，5，17，39，71，（，）

A.107    

B.113

C.121    

D.135

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B

8.（廣東 2018）

0.5，3，8，18，38，（，）

A.75    

B.78

C.82    

D.85

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B

9.（廣東 2018）

1，2，5，26，（，）

A.377    

B.477

C.577    

D.677

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D

10.（廣東 2018）

14，28，56，112，（，）

A.155    

B.186

C.224    

D.320

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